Gli argomenti contenuti in questo testo sono quelli che di norma costituiscono il primo dei corsi di Analisi Matematica. Il testo nasce dall’esperienza che gli autori hanno maturato insegnando nella Facoltà di Ingegneria dell’Università di Catania. Oltre che nei corsi di Ingegneria, il testo può comunque essere adottato in quelli di Matematica, Fisica o Informatica.

I primi due capitoli sono dedicati ai campi numerici che più sono usati nell’Analisi Matematica e cioè il campo reale ed il campo complesso. Il capitolo 3 tratta del concetto di limite per funzioni di una variabile e per successioni numeriche. Il concetto di limite e il concetto fondamentale su cui si fonda l’intero corso. Nel capitolo 4 vengono presentate le funzioni continue e alcune loro importanti proprietà. Nel capitolo 5 viene presentato il Calcolo differenziale per le funzioni di una variabile. Innumerevoli sono le applicazioni del Calcolo alle Scienze e all’Ingegneria. Concludono il testo il capitolo 6 riguardante le serie numeriche e il capitolo 7 sull’integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile.

Alla fine di ciascun capitolo si trova una lista di esercizi proposti.

Catania, luglio 2007
Gli Autori

1. Insiemi ordinati

2. Campi e campi ordinati

3. Il campo dei numeri reali

5. Potenza ad esponente razionale

6. Potenza ad esponente reale

7. Logaritmo di un numero reale positivo

8. Il sistema esteso dei numeri reali

Esercizi proposti

1. Forma algebrica dei numeri complessi

2. Forma trigonometrica dei numeri complessi

3. Radici nel campo complesso

Esercizi proposti

1. Cenni di Topologia in

2. Funzioni reali

2.1. Definizione di funzione reale

2.2. Operazioni tra funzioni

2.3. Simmetrie

2.4. Funzione composta

2.5. Funzione inversa

2.6. Estremi assoluti e relativi delle funzioni

3. Limiti delle funzioni reali

3.1. Definizione di limite

3.2. Limiti laterali

3.4. Operazioni con i limiti

3.5. Limiti delle funzioni monotone

3.6. Infinitesimi e infiniti

3.7. Asintoti ad un diagramma cartesiano

4. Successioni

4.1. Limite di successioni

4.2. Il numero di Nepero ed i limiti dedotti da esso

4.3. Limite massimo e limite minimo per una successione

Esercizi proposti

1. Definizione di funzione continua

2. Singolarità di una funzione

3. Proprietà fondamentali delle funzioni continue

4. La continuità uniforme

Esercizi proposti

1. Derivata e differenziale

1.1. Definizione di derivata

1.2. Derivate delle funzioni elementari

1.3. Algebra delle derivate

1.4. Derivata della funzione composta

1.5. Derivata della funzione inversa

1.6. Differenziale

2. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale

2.1. Teorema di Fermat

2.2. I Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange

2.3. Alcune conseguenze del Teorema di Lagrange

2.4. I Teoremi di de L’Hôpital

2.5. La formula di Taylor

3. Applicazioni del calcolo differenziale

3.1. Funzioni convesse e funzioni concave in un intervallo

3.2. Studio qualitativo del grafico di una funzione

3.3. Successioni ricorsive

3.4. Risoluzione numerica delle equazioni

Esercizi proposti

1. Definizioni e proprietà di carattere generale

2. Serie a termini non negativi

3. Serie a termini di segno qualsiasi

3.1. Convergenza e convergenza assoluta

3.2. Serie a termini di segno alterno

4. Proprietà associativa e commutativa per le serie numeriche

4.1. Proprietà associativa

4.2. Proprietà commutativa

5. Prodotto di serie secondo Cauchy

Esercizi proposti

1. Definizione di Integrale secondo Riemann

2. Alcune proprietà dell’integrale

3. Alcune classi di funzioni integrabili

4. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale

5. Metodi di integrazione

6. Integrazione di alcune classi di funzioni

6.1. Integrazione delle funzioni razionali

6.2. Integrazione di alcune funzioni irrazionali

6.3. Integrazione di alcune funzioni trascendenti

7. Integrali generalizzati ed impropri

7.1. Integrali generalizzati

7.2. Integrali impropri

7.3. Proprietà per integrali generalizzati e impropri

7.4. Teoremi di confronto per integrali generalizzati e impropri

7.5. Assoluta sommabilità in senso generalizzato e improprio

7.6. Integrali impropri e serie numeriche